Aca dejo un libro sobre ecuaciones diferenciales en formato pdf. el cual lleva por titulo “Metodos clasicos de resolucion de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias“. En lo personal me ha gustado bastante, pues a pesar de no ser muy extenso (solo 61 paginas) cubre una amplia variedad de problemas clasicos en el estudio de las EDO.
Este material digital sera de mucha utilidad para quienes estudian algun carrera relacionada con matematicas, fisica o ingenieria.
En un post anterior he explicado como calcular la integral de seno y coseno cuadrado de x. A continuacion dejo el desarrollo de la integral de seno elevado al cubo de x (la integral de coseno cubo de x se resuelve de forma analoga).
La he desarrollado por dos metodos diferentes, por el metodo de integracion por partes y por el metodo de integracion por sutitucion.
Por el metodo de integracion por partes:
El metodo de integracion por partes siempre nos presenta la interrogante respecto de cual de los factores hacer u y cual dv en este caso hice dv a la expresion que no tiene exponente, ya que de la otra forma obtuve una expresion similar la inicial y no me aportaba nada a la resolucion del problema.
Por el metodo de integracion por sutitucion:
Como se puede apreciar con el metodo de integracion por sustitucion se necesitaron menos pasos para llegar al resultado.
Uno de los primeros problemas que se nos presenta cuando comenzamos a resolver integrales trigonometricas son aquellas que estan elevadas a alguna potencia. Aqui comparto la solucion para las integrales de seno y coseno cuadrado (destaco que no es la unica forma de solucionarla).
Problema:
Ayuda:
Nos apoyamos en la identidad siguiente.
Reemplazamos
Ahora necesitamos conocer el valor de la integral
Sea:
Reemplazamos:
Pero:
Asi:
Con lo que obtenemos el resultado de la integral que andabamos buscando:
La integral
se obtiene reemplazando la funcion seno por coseno utilizando para ello la famosa identidad de pitagoras
Reemplazando:
Asi finalmente obtenemos el resultado de la otra integral que andabamos buscando:
Se necesita construir un oleoducto de un punto A a un punto B que distan 5 km y están en riberas opuestas de un río de cauce recto de 1,5 km de ancho. El oleoducto irá desde A a un punto C en la ribera opuesta y luego de C a B. El costo por kilómetro de tubería bajo el agua es el cuádruple del costo sobre tierra. Calcule la posición de C que minimice el costo.
Nos hacemos un esquema del problema.
lo que esta marcado con rojo es un dato que no esta en el enunciado pero que calculamos pues nos sera de utilidad y se obtiene aplicando la “ley de pitagoras”.
Ahora planteamos un esquema para esbozar el ducto. La parte amarilla es lo que va bajo agua y lo morado es el tramo por tierra.
Ahora hacemos un calculo del costo del ducto. El costo total es la suma de los costos bajo agua y por tierra y el costo respectivo de estos se obtiene al multiplicar su costo por kilometro y los respectivos kilomertros que se ocuparan.
Al llegar a este punto nos damos cuenta que son insuficientes los datos ya que no es posible expresar la funcion costo en termino de una unica variable (necesitamos una unica variable respecto de la cual derivar para minimizar la funcion)
Asi que buscamos la manera de relacionar ambas variables respecto de una tercera.
Asi, expresamos cada variable en funcion de esta nueva variable y tenemos nuestra funcion a minimizar.
Hacemos algunos cambios de simbolos para trabajar de la manera clasica.
Y comenzamos el proceso de minimizacion.
Primero derivamos
Luego igualamos a cero
asi encontramos dos soluciones, pero nos quedamos con la positiva ya que la solucion negativa no tiene sentido en el problema.
Por tanto tenemos ya nuestro punto critico. Ahora queda verificar si es minimo o maximo.
Continuara…
